تمارين في القسمة الإقليدية

نشاط :
114 |60
54 1
العدد 1 هو حاصل القسمة الإقليدية للعدد 114 على 60 و 54 هو باقي القسمة الإقليدية
للعدد 114 على 60
باتباع نفس المنهجية السابقة ، عين حاصل وباقي قسمة العدد 2007 على 30
أحصر العدد2007 بين مضاعفين متعاقبين للعدد الطبيعي 30
نفس السؤال بالنسبة للعددين1962 و 18
عين باقي قسمة كل من العددين 660 و 366 على 7 ، ماذا تلاحظ؟
ما هو باقي قسمة 660 -366 على 7 ؟
ضع تخمينا
إجابة
2007|30
207 66
27
العدد 66 هو حاصل القسمة الإقليدية للعدد 2007 على 30 و 27 هو باقي القسمة الإقليدية
للعدد2007 على 30
القسمة الإقليدية هي العملية التي بواسطتها تم تعيين العددين 66 و 27
حصر العدد 2007 بين مضاعفين متعاقبين للعدد 30
2007:30 = 66 +30 :27
2007 =66(30) +27
66(30) =< 2007<67(30)
إيجاد حاصل وباقي قسمة العدد 1962 على 18
1962|18
16 109
162
0
حاصل القسمة الإقليدية للعدد 1962 على 18 هو 109 وباقيها هو 0
حصر العدد 1962 بين مضاعفين متعاقبين للعدد 18
1962:18 =109 + 0
1962 =18 (109)
18(109)=<1962< 18(110)
تعيين باقي قسمة 660 على 7
660|7
30 94
2
باقي قسمة 660 على 7 هو 2
تعيين باقي قسمة 366 على 7
366|7
16 52
2
باقي القسمة الإقليدية للعدد 366 على 7 هو 2
من خلال ما سبق نلاحظ أن للعددين 660 و 366 نفس باقي قسمتيهما على العدد 7
بالتالي باقي القسمة الإقليدية للفرق بينهما هو صفر أي الفرق بينهما مضاعف للعدد 7
أو قابل للقسمة على 7
نفس باقي القسمة الإقليدية على عدد طبيعي b,a التخمين الذي يمكن وضعه هو أنه إذا كان لعددين طبيعيين
c أو قابل للقسمة على c فإن الفرق بينهما هو مضاعف للعدد c غير معدوم
Z القسمة الإقليدية في
عدد طبيعي غير معدومb عدد صحيح و a
وإما محصور بينb إما مضاعف للعددa إن العدد<r< font> </r
b < font bq - b<><r< font>مضاعفين متعاقبين للعدد</r
<r< font>a = bq</r
<r< font> عدد صحيحq و bq<a<b(q+1)<A<B(Q+1)< font></r<A<B(Q+1)< font>
<r< font>bq=<a<b(q+1) إذن <A<B(Q+1)<A<B(Q+1)< r
نضع
<r< font>r=a-bq</r
<r< font>0=<r<b<R<B<R<B<A<B(Q+1)< div>< font bq - b<>
مبرهنة
توجد ثنائية وحيدة ،b ومن أجل كل عدد طبيعي غير معدوم a من أجل كل عدد صحيح
0=<r<b و a = bq + r :(q,r)EZ2
<R< font a="bq+r">
تعاريف
b على العدد a تسمى القسمة الإقليدية للعددr و q عملية إيجاد العددين
b على العدد الطبيعيى غير المعدومa يسمى حاصل القسمة الإقليدية للعدد الصحيح qالعدد
يسمى باقيها r العدد
ملاحظة
و حينئذ يكون b على عدد صحيح غير معدوم a يمكن تمديد مفهوم القسمة الإقليدية لعدد صحيح
0=<r<|b| و a=<R< font b ;a<> = bq +r
</r</r
نتيجة
إذا وفقط إذا كان باقي القسمة b قابلا للقسمة على عدد صحيح غير معدوم a يكون عدد صحيح
مساويا للصفر b على العدد غير المعدوم a الإقليدية للعدد
أمثلة
b = 4 , a = 30
r = 2 ,q = 7
b =7 , a = -52
r =4 ,q =-8
b = - 5 ,a = -19
r = 1 ,q =4
b = - 10 ,a= 2007
r =7 ,q =-200
b = -9 ,a = 2007
r = 0 ,q = -223
-9 العدد 2007 يقبل القسمة على العدد
تطبيق
على 21 ؟ a فما هو باقي قسمة a = 13×21 + 16 إذا كان
?على 13 a ما هو باقي قسمة
إجابة
العدد 16 موجب وأقل تماما من 21
على 21 هو 16 a باقي قسمة
a = 13×21 + 16
a = 13×21 + 3 +13
a = 13×22 + 3
13العدد 3 موجب وأقل تماما من
على 13 هو 3 a باقي قسمة
تمرين
كتاب مكتوب عليه 4350 سطرا
كل صفحة تحمل 34 سطرا
ما هو عدد الأسطر الموجودة على الصفحة الأخيرة؟
إجابة
عدد صفحات الكتاب المكتوب عليها 34 سطرا x ليكن
عدد الأسطر الموجودة على الصفحة الأخيرة r وليكن
4350 = 34 x + r
0=<R<34< font>
4350 = 34 x + r
4350=34.127+32
0=<32<34
r = 32