البرهان بالتراجع

البرهان بالتراجع :
nومن أجل كل عدد طبيعي U0 = 0 بـ N المتتالية المعرفة على (Un)
Un+1 =2Un + 1
nبدلالة Unواعط تخمينا لعبارة(Un) أحسب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية
.اثبت ذلك
على 2 U n بقي قسمة n عين تبعا لقيم
:إجابة
(Un)حساب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية
U0 =0
U1 = 1
U2 =3
U3 =7
U4 =15
U0=1-1=20-1 :لاحظ أن
U1=2-1=21-1
U2=4-1=22-1
U3=8-1=23-1
U4=16-1=24-1
:التخمين الذي يمكن وضعه ،بناءا على ما سبق ،هو
Un=2n - 1 : n من أجل كل عدد طبيعي
؟Un+1=2n+1 - 1 هل يكون Un=2n - 1 بافتراض أن
Un+1 = 2Un+1
Un+1 = 2(2n-1)+1
Un+1 = 2n+1-2+1
Un+1 = 2n+1-1
فإنها تكون صحيحة nإذا كانت الخاصة السابقة صحيحة من أجل العدد الطبيعي
( Nمن n من أجل العدد الذي يليه (مهما كان
الإستدلال الذي يعتمد على هذه الفكرة يسمى البرها ن بالتراجع
على 2 Unباقي قسمة
الباقي هو 0 U0 =0:n = 0
Un=2n -1 :n>0
Un = 2(2 n-1 -1 ) +1
الباقي هو 1
:مبدأ البرهان بالتراجع
n0 عدد طبيع أكبر من أو يساوي n، عدد طبيعي ثابتn0
قد تكون صحيحة أو خاطئة، nخاصة مرتبطة بالعدد الطبيعي p(n)
:نتبع ما يلي n >= nحيث0nمن أجل كل عدد طبيعيp(n)لإثبات صحة الخاصة
p(n0)نثبت صحة
p(n+1)صحيحة ونبرهن صحة p(n)نفترض أن
مثال
حيث R معرفة على x دالة عددية للمتغير الحقيقي f
f(x) =xn
f'(x)=nxn-1و R تقبل اللإشتقاق في f
باستخدام الإستدلال بالتراجع ،nلنثبت صحة ذلك من أجل كل عدد طبيعي غيرمعدوم
n = 1من أجل
f(x) =x
f'(x) = 1 =1x0=1x(1-1)
n = 1 الخاصة قيد الدراسة صحيحة من أجل
n+1ونبرهن صحتها من أجلnنفرض أن الخاصة صحيحة من أجل
f'(x) =(n+1)xn فإن f(x) =xn+لنبرهن،إذن،أنه إذا كان1
f(x)=xn+1 =xn . x
f'(x) = nx n-1 .x +x n
f'(x) =nx n +x n
f'(x) =(n+1)x n
n+1إذن ، الخاصة صحيحة من أجل
f(x) =x nوحسب الإستدلال بالتراجع ، نستنتج أنه إذا كان
f '(x) = n x n-1:nفإنه من أجل كل عدد طبيعي
تطبيق
:كما يلي Nمتتالية عددبة معرفة على (Un)
Un = 1+2+...+n
ما هو التخمين الذي يمكن وضعه؟U3,U2,U1,U0 أحسب
أثبت ذلك باستخدام البرها ن بالتراجع
:إجابة
U3,U2,U1,U0حساب
U0 = 0
U1=1
U2=0+1+2=3
U3= 0+1+2+3=6
:لاحظ أنه يمكن أن نكتب
U0 = (1/2)0(0+1)
U1 = (1/2)1(1+1)
U2 = (1/2)2(2+1)
U3 = (1/2)3(3+1)
بالتالي نستنتج التخمين الآتي
Un =(1/2)n(n+1) :Nمن nمن أجل كل
لنثبت صحة هذا التخمين باستخدام الإستدلال بالتراجع
Un =(1/2)n(n+1) :هيp(n)
(n0=0) n = 0 من أجل
U0 = (1/2)0(0+1)
صحيحةp(0)إذن
p(n+1) صحيحة ونبرهن صحة p(n)نفرض أن
ونبرهن Un =(1/2)n(n+1)أي نفرض
Un+1 =(1/2)(n+1)(n+2)
Un+1= 1+2+3+...+n+n+1 لدينا
Un+1=Un + n+1
Un+1=(1/2)n(n+1)+n+1
Un+1=(n+1)((1/2)n+1)
بعد توحيد المقامات نجد
Un+1=(1/2)(n+1)(n+2)
صحيحة p(n+1)بالتالي
وبناءا على مبدأ البرهان بالتراجع
Un=(1/2)n(n+1);nمن أجل كل عدد طبيعي
تمرين
بما يلي N متتالية عددية معرفة على (Un)
Un =23n - 1: n من أجل كل عدد طبيعي
(Un) أحسب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية
ثم أكتبها بدلالة العدد 7، ما هو التخمين الذي يمكن وضعه؟
.أثبت ذلك باستخدام البرهان بالتراجع
:إجابة
(Un)حساب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية
Un =23n - 1
U0 =20 - 1 =0 نجد n =0 بوضع
U1 =23 - 1 =7 نجد n =1 بوضع
U2 =26 - 1 =63 نجد n =2 بوضع
U3 =29 - 1 =511 نجد n =3 بوضع
U4 =212 - 1 =4095 نجد n =1 بوضع
كتابة الحدود السابقة بدلالة العدد7
U0 =0 =0×7
U1 =7 = 1×7
U2 =63 =9×7
U3 =511=73×7
U4 =4095=585×7
يقبل القسمة على العدد 7 من أجل كل عدد طبيعي Un التخمين الذي يمكن وضعه هو أن
لنثبت ذلك باستخدام البرهان البرهان بالتراجع
يقبل القسمة على 7 Un تكافئ p(n)
U0=0×7 , n = 0من أجل
صحيحة p(0): يقبل القسمة على 7 U0
p(n+1) صحيحة ونبرهن صحة p(n) نفرض أن
يقبل القسمة على 7 Un+1 يقبل القسمة على 7 ونبرهن أن Un بمعنى آخر نفرض أن
Un+1 =23(n+1) - 1
Un+1 =23n×23 - 1
Un+1 =23n×(7+1)-1
Un+1 =7×23n+23n -1
Un+1 =7×23n+Un
عدد طبيعي k :Un =7k يقبل القسمة على 7 معناه Un
Un+1 =7×23n+7k
Un+1 =7×(23n+k)
يقبل القسمة على 7 Un+1 بالتالي
صحيحة p(n+1) ومنه
:و اعتمادا على مبدأ البرهان بالتراجع فإن
.يقبل القسمة على 7 Un: n من أجل كل عدد طبيعي
تمرين
نضع n من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم
Un =n2n-1
n يرهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم
U1+U2+U3+...+Un=1+(n-1)2n
2n علىU1+U2+U3+...+Unاستنتج باقي قسمة
إجابة
n = 1
U1 =1.20
U1 =1
U1=1- 0
U1=1-(1-1)1
U1=1-(1-1)20
n = 1 الخاصة صحيحة من أجل
n + 1 ونبرهن صحتها من أجل n نفرض أن الخاصة صحيحة من أجل
U1+U2+U3+...+Un=1+(n-1)2n لدينا
U1+U2+U3+...+Un+Un+1=1+(n)2n+1لنبرهن أن
U1+U2+U3+...+Un+Un+1=1+(n-1)+2n +Un+1
=1+(n-1)+2n +(n+1)2n
=1+2n.2n
=1+n2 n+1
n+1 الخاصة صحيحة من أجل
n+1تكون صحيحة من أجل n وكلما كانت صحيحة من أجل n = 1 وبما أنها صحيحة من أجل
أكبرمن أو يساوي 1 n فهي صحيحة من أجل كل عدد طبيعي
2 n على U1+U2+U3+...+Unاستنتاج باقي قسمة
U1+U2+U3+...+Un=1+(n-1)2n
2 n على U1+U2+U3+...+Unباقي قسمة
هو 1
تمرين
العدد n برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي
7 2n +3
يقبل القسمة على 4
إجابة
U n = 7 2n +3 نضع
n = 0
U 0 = 7 0 +3
U 0= 1+3
U 0=4
يقبل القسمة على 4 U 0
n = 0 الخاصة صحيحة من أجل
يقبل القسمة على 4 U n+1 يقبل القسمة على 4 ونبرهن أن U n نفرض أن
عدد طبيعيh,7 2n +3=4h
U n+1 = 7 2(n+1) +3
=72n+2 + 3
= 7 2 . 7 2n + 3
= 49 .7 2n + 3
= (48 + 1)7 2n + 3
= 4(12)7 2n +7 2n + 3
= 4k +4h
= 4(k+h)
يقبل القسمة على 4 U n+1 إذن
n +1 الخاصة صحيحة من أجل

شكرا على الدرس